5.1.1 動径変数と角変数の分離

変数分離によって \begin{align} \tag{5.2} \label{separated phi} \phi(\boldsymbol{x}) = \phi(r,\theta,\varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) \end{align} とします。 これを\eqref{poisson eq}に入れれば、 \begin{align} \Delta\phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR}{dr} \right) \Theta\Phi + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta} \right) \Phi R + \frac{1}{r^2\sin^2\theta} \frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} R\Theta = -f(r)R\Theta\Phi \end{align} となります。 両辺を \(r^2/R\Theta\Phi\) 倍して \[ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{dr} \left( r^2\dfrac{dR}{dr} \right) + \dfrac{1}{\Theta\sin\theta} \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} \right) + \dfrac{1}{\Phi\sin^2\theta} \dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -r^2f(r) \] です。 \(r\) 依存部分と \(\theta, \varphi\) 依存部分を分ければ、 \[ \tag{5.3} \label{separated poisson} \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR}{dr} \right) + r^2f(r) = -\dfrac{1}{\Theta\sin\theta} \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} \right) - \dfrac{1}{\Phi\sin^2\theta} \dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} \] が得られます。

\eqref{separated poisson}左辺は \(r\) のみに、右辺は \(\theta, \varphi\) のみに依存しているので、恒等的に等号が成り立つには両辺とも定数でなければなりません。 この定数を \[ \tag{5.4} \label{lambda def} \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR}{dr} \right) + r^2f(r) = -\dfrac{1}{\Theta\sin\theta} \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} \right) - \dfrac{1}{\Phi\sin^2\theta} \dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} \equiv \lambda \quad(\lambda\in\mathbb{C}) \] としておきます。

5.1.2 角変数どうしの分離

さて、今度は角変数を分離しましょう。

\eqref{lambda def}の右側の等号によって、 \[ \dfrac{\sin\theta}{\Theta} \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} \right) + \lambda\sin^2\theta = - \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} \] です。 \eqref{separated poisson}から\eqref{lambda def}を得るときと同様に、左辺は \(\theta\) のみに、右辺は \(\varphi\) のみに依存していますから、複素定数 \(m\) によって \[ \tag{5.5} \label{m def} \dfrac{\sin\theta}{\Theta} \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} \right) + \lambda\sin^2\theta = - \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} \equiv m^2 \] とできます。

5.2.1 動径方程式

\eqref{lambda def}の両端をとれば、 \[ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR}{dr} \right) + r^2f(r) = \lambda \] となります。 両辺 \(R\) 倍して整理すると、 \[ \dfrac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR}{dr} \right) + r^2f(r)R - \lambda R =0 \] が手に入ります。 この解 \(R\) は一般に \(\lambda\) によって異なりますから、 \[ \tag{5.6} \label{radial eq} \dfrac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR_\lambda}{dr} \right) + r^2f(r)R_\lambda - \lambda R_\lambda =0 \] と書いておきましょう。 ポアソン方程式の一般解 \(\phi=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)\) における \(R\) はこの方程式の一般解ですね。 ということで、この方程式を動径方程式と呼んであげます。

\(\Theta(\theta=0,\pi)\) の正則性を考慮すると、\(\lambda=l(l+1), l\in\mathbb{Z}\) を考えるのが一般的です。 このとき\eqref{radial eq}は直ちに \[ \tag{5.7} \label{radial l} \dfrac{d}{dr} \left( r^2\frac{dR_l}{dr} \right) + r^2f(r)R_l - l(l+1) R_l =0 \] と書き換えられます。 物理でこの応用を考えるときは主にこちらの方程式を解いていきます。

5.2.2 \(\Theta\) の満たす微分方程式

\eqref{m def}の両端を使えば、 \[ \tag{5.8} \label{m and theta} \sin\theta \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\dfrac{d\Theta}{d\theta} \right) + \lambda\Theta\sin^2\theta = m^2\Theta \] が要請されますね。 ここで \(\sin\theta\:d/d\theta\) の形が目立つので、 \begin{array}{rcl} \tag{5.9} \label{x and cos} \cos\theta&=&x \\ -\sin\theta\:d\theta&=&dx \end{array} としておきます。 このとき \begin{array}{rcl} \dfrac{d\Theta}{d\theta} &=& -\sin\theta \dfrac{d\Theta}{dx} \\ \dfrac{d^2\Theta}{d\theta^2} &=& \sin^2\theta\dfrac{d^2\Theta}{dx^2} - \cos\theta\dfrac{d\Theta}{dx} \end{array} が成り立つので、\eqref{m and theta}の微分をライプニッツルールで分解したのち、\(\Theta\) の微分を代入して、 \[ \sin^2\theta \left( \sin^2\theta \dfrac{d^2\Theta}{dx^2} - \cos\theta \dfrac{d\Theta}{dx} \right) + \sin\theta\cos\theta \left( -\sin\theta \dfrac{d\Theta}{dx} \right) + \lambda\Theta\sin^2\theta - m^2\Theta = 0 \] が得られます。 両辺 \(\sin^2\theta\) で割って\eqref{x and cos}を使えば、 \[ (1-x^2)\dfrac{d^2\Theta}{dx^2} - 2x\dfrac{d\Theta}{dx} + \lambda\Theta - \dfrac{m^2}{1-x^2}\Theta =0 \] です。 解 \(\Theta\) は \(\lambda, m\) の値によって変わりますから、\(\Theta_\lambda^m\) と書いておけば、第1項と第2項をまとめて \[ \left[ \dfrac{d}{dx} \left( (1-x^2)\dfrac{d}{dx} \right) + \left( \lambda - \dfrac{m^2}{1-x^2} \right) \right] \Theta_\lambda^m =0 \] と表せます。

かくして \(x\) の関数 \(y\) に関する方程式が得られます。 \[ \tag{5.10} \label{asc Leg eq} L_\lambda^m[y_\lambda^m] := \left[ \dfrac{d}{dx} \left( (1-x^2)\dfrac{d}{dx} \right) + \left( \lambda - \dfrac{m^2}{1-x^2} \right) \right] y_\lambda^m =0 \] これこそ我々がpdf版で数十ページをかけてこねくり回すルジャンドルの倍微分方程式です。

\(x=\pm1\) すなわち \(\theta=0,\pi\) における解の正則性を考慮すると、\(\lambda=l(l+1)\) とおいて \(l\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) の場合を考えるのが一般的で、 \[ \tag{5.11} \label{asc Leg eq with l} L_l^m[y_l^m] := \left[ \dfrac{d}{dx} \left( (1-x^2)\dfrac{d}{dx} \right) + \left( l(l+1) - \dfrac{m^2}{1-x^2} \right) \right] y_l^m =0 \] と表せます。

\eqref{asc Leg eq with l}の解を \(P_l^m(x)\) と表せば、 \[ \tag{5.12} \Theta_l^m(\theta)=P_l^m(\cos\theta) \] です。

また、\(m=0\) のときは斉次方程式になって解析が容易になるので、ルジャンドルの微分方程式も用意しておきましょう。 \[ \tag{5.13} \label{Leg eq} L_\lambda[y_\lambda] := \left[ \dfrac{d}{dx} \left( (1-x^2)\dfrac{d}{dx} \right) + \lambda \right] y_\lambda =0 \] \[ \tag{5.14} \label{Leg eq with l} L_\lambda[y_l] := \left[ \dfrac{d}{dx} \left( (1-x^2)\dfrac{d}{dx} \right) + l(l+1) \right] y_l =0 \] 今後、ことあるごとに「ルジャンドルの微分方程式で得られた解析結果を陪微分方程式に拡張する」という手法を取ります。

5.2.3 \(\Phi\) の満たす微分方程式

\eqref{m def}の右側の等号によって直ちに \[ \dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -m^2\Phi \]

が得られます。 この方程式は調和振動子の運動方程式として有名で、一般解は \[ \tag{5.15} \label{Phi solution} \Phi_m(\varphi)=e^{\pm im\varphi} \] ですね。