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量子力学で扱う軌道角運動量 \[ \tag{10.1} \label{angular momentum} \hbar\hat{\boldsymbol{l}} = \hat{\boldsymbol{r}} \times \hat{\boldsymbol{p}} \] は、古典論ではおよそ粒子の公転運動の角運動量に相当します。 特にスピンのない1粒子極座標系では、ルジャンドル多項式を含む球面調和関数を使うことで、固有状態の波動関数を表すことができます。
本節では角運動量の交換関係から導かれる昇降演算子などの性質は既知のものとして議論を進めていきます。
参考文献は猪木川合、柴田是常です。
\eqref{angular momentum}より、座標表示で軌道角運動量の演算子は \[ \tag{10.2} \label{l hat} \hat{\boldsymbol{l}} = \dfrac{1}{\hbar} \hat{\boldsymbol{r}}\times\hat{\boldsymbol{p}} = -i\boldsymbol{r}\times\nabla \] となりますね。 極座標でこれを記述するには微分演算子 \(\nabla\) を \(\partial/\partial r,\partial/\partial\theta,\partial/\partial\varphi\) で表さなければなりません。 本章の読者にとっては復習だと思われますが、決して暗記するものではありませんから、ここで再度導いておくのも無駄ではないでしょう。
いつも通りの極座標をとり \begin{array}{rcl} x&=&r\sin\theta\cos\varphi \\ y&=&r\sin\theta\sin\varphi \\ z&=&\cos\theta \end{array} とします。 これより、 \begin{array}{lll} \dfrac{\partial x}{\partial r} = \sin\theta\cos\varphi , & \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta\sin\varphi , & \dfrac{\partial z}{\partial r} = \cos\theta , \\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi , & \dfrac{\partial y}{\partial\theta} = r\cos\theta\sin\varphi , & \dfrac{\partial z}{\partial\theta} = -r\sin\theta , \\ \dfrac{\partial x}{\partial\varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi , & \dfrac{\partial y}{\partial\varphi} = r\sin\theta\cos\varphi , & \dfrac{\partial z}{\partial\varphi} = 0 \end{array} で、ライプニッツルールによって \begin{align} \left( \begin{matrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\ \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial}{\partial \varphi} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta \\ r\cos\theta\cos\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & -r\sin\theta \\ -r\sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{matrix} \right) \end{align} になりますね。
逆行列を計算すると、 \begin{array}{rl} & \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta \\ r\cos\theta\cos\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & -r\sin\theta \\ -r\sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi & 0 \end{matrix}\right)^{-1} \\ =& \dfrac{1}{ r^2( \sin\theta\cos^2\theta\cos^2\varphi + \sin^3\theta\sin^2\varphi + \sin\theta\cos^2\theta\sin^2\varphi + \sin^3\theta\cos^2\varphi ) } \\ &\times \left(\begin{matrix} r^2\sin^2\theta\cos\varphi & r^2\sin^2\theta\sin\varphi & r^2\sin\theta\cos\theta \\ r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi & r\sin\theta\cos\theta\sin\varphi & -r\sin^2\theta \\ -r\sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \end{matrix}\right)^T \\ =& \dfrac{1}{r^2\sin\theta} \left(\begin{matrix} r^2\sin^2\theta\cos\varphi & r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ r^2\sin^2\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\theta\sin\varphi & r\cos\varphi \\ r^2\sin\theta\cos\theta & -r\sin^2\theta & 0 \end{matrix}\right) \end{array} ですから、 \[ \left(\begin{matrix} \partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos\varphi & \dfrac{\cos\theta\cos\varphi}{r} & -\dfrac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \\ \sin\theta\sin\varphi & \dfrac{\cos\theta\sin\varphi}{r} & \dfrac{\cos\varphi}{r\sin\theta} \\ \cos\theta & -\dfrac{\sin\theta}{r} & 0 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \partial/\partial r \\ \partial/\partial \theta \\ \partial/\partial \varphi \end{matrix}\right) \] が得られます。
角運動量の計算には昇降演算子がつきものですから、そのために角運動量の各成分を極座標で求めていきます。 \eqref{l hat} を成分表示すれば、 \begin{array}{rcl} \hat{l}_x &=& - iy\dfrac{\partial}{\partial z} + iz\dfrac{\partial}{\partial y} \\ &=& -i \Biggl[ ( r\sin\theta\sin\varphi\cdot\cos\theta - r\cos\theta\cdot\sin\theta\sin\varphi ) \dfrac{\partial}{\partial r} \\ && + \left( r\sin\theta\sin\varphi\cdot\left(-\dfrac{\sin\theta}{r}\right) - r\cos\theta\dfrac{\cos\theta\sin\varphi}{r} \right) \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ && - r\cos\theta\dfrac{\cos\theta}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \varphi} \Biggr] \\ &=& -i \left( -\sin\varphi\dfrac{\partial}{\partial\theta} - \cot\theta\cos\varphi\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \\ \hat{l}_y &=& - iz\dfrac{\partial}{\partial x} + ix\dfrac{\partial}{\partial z} \\ &=& -i \Biggl[ ( r\cos\theta\cdot\sin\theta\cos\varphi - r\sin\theta\cos\varphi\cdot\cos\theta ) \dfrac{\partial}{\partial r} \\ && + \left( r\cos\theta\dfrac{\cos\theta\cos\varphi}{r} + r\sin\theta\cos\varphi\dfrac{\sin\theta}{r} \right) \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ && - r\cos\theta\dfrac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial \varphi} \Biggr] \\ &=& -i \left( \cos\varphi\dfrac{\partial}{\partial\theta} + \cot\theta\sin\varphi\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \\ \hat{l}_z &=& - ix\dfrac{\partial}{\partial y} + iy\dfrac{\partial}{\partial x} \\ &=& -i \Biggl[ ( r\sin\theta\cos\varphi\cdot\sin\theta\sin\varphi - r\sin\theta\sin\varphi\cdot\sin\theta\cos\varphi ) \dfrac{\partial}{\partial r} \\ && + \left( r\sin\theta\cos\varphi\dfrac{\cos\theta\sin\varphi}{r} - r\sin\theta\sin\varphi\dfrac{\cos\theta\cos\varphi}{r} \right) \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ && + \left( r\sin\theta\cos\varphi\dfrac{\cos\varphi}{r\sin\theta} + r\sin\theta\sin\varphi\dfrac{\sin\varphi}{r\sin\theta} \right) \dfrac{\partial}{\partial\varphi} \Biggr] \\ &=& -i\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \end{array} です。 これより昇降演算子を求めれば、 \begin{array}{rcl} \hat{l}_+ &=& \hat{l}_x+i\hat{l}_y \\ &=& (\cos\varphi+i\sin\varphi) \left( \dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \\ \hat{l}_- &=& \hat{l}_x-i\hat{l}_y \\ &=& (\cos\varphi-i\sin\varphi) \left( - \dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \end{array} が得られます。 以上によって座標表示における主要な演算子 \[ \tag{10.3} \label{lz} \hat{l}_z = -\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \] \[ \tag{10.4} \label{l+} \hat{l}_+ = e^{i\varphi} \left( \dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \] \[ \tag{10.5} \label{l-} \hat{l}_- = e^{-i\varphi} \left( - \dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \] が揃いました。
ここまでで演算子の具体系が得られたので、固有状態に作用させることで固有状態が満たすべき方程式が得られることが期待できます。 一般論を扱う際は固有状態を \(\ket{l,m}\) や \(\bra{x}\ket{l,m}\) などと表すのですが、ここでは \(\bra{\boldsymbol{x}}\ket{l,m}=Y_l^m(\boldsymbol{x})\) と書いておきましょう。 演算子からの作用を受けると(4.5)のようになるはずです。
(4.5)を満たす関数 \(Y_l^m(r,\theta\varphi)\) を一足飛びで求めるのは難しいので、まずは \(Y_l^l\) を考えましょう。 \eqref{lz}を考慮し \(\hat{l}_z\) を作用させたときの振る舞いを考えると、 \[ \hat{l}_zY_l^l = -i\dfrac{\partial Y_l^l}{\partial\varphi} = lY_l^l. \] よって \(\varphi=0\) での値を \(R(r)\Theta_l^l(\theta)\) とすれば、\(\varphi\) については簡単に解けて、 \[ \tag{10.6} \label{10.6} Y_l^l(\boldsymbol{x}) = R(r) \Theta_l^l(\theta) e^{il\varphi} \] ですね。 ここで軌道角運動量については \(\varphi\mapsto\varphi+2\pi\) で値が変わらないとするのが妥当でしょう。 よって \[ \tag{10.7} \label{l in Z} l\in\mathbb{Z} \] が要求されます。
今度は \(Y_l^l\) に上昇演算子\eqref{l+}を作用させます。 \[ \hat{l}_+Y_l^l = e^{il\varphi} \left( \dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) Y_l^l = 0. \] \eqref{10.6}を使って整理すると、 \[ \dfrac{\partial}{\partial\theta} R(r)\Theta_l^l(\theta)e^{il\varphi} = l\cot\theta R(r)\Theta_l^l(\theta)e^{il\varphi} \] です。 \(\Theta\) に関する微分方程式が得られ、変数分離型の微分方程式の解法によって \[ \int\dfrac{d\Theta_l^l}{\Theta_l^l} = \int l\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}d\theta \] となりますから、積分定数を \(R(r)\) に課すことで \[ \Theta_l^l(\theta) = \sin^l\theta \] と表せます。
\(R(r)\) が残りましたが、\eqref{lz},\eqref{l+},\eqref{l-}のいずれにも \(r\) は登場しません。 ゆえに角運動量の議論において \(r\) 依存性は無視できます。 そこで以下では \(r=1\) 上で考え、\(R(1)=N_l\) としておきます。 つまり、 \[ \tag{10.8} \label{10.8} Y_l^l(r=1,\theta,\varphi) = N_l\sin^l\theta e^{il\varphi} \] です。
\(m=l\) での形はわかったので、一般の \(m=-l,-l+1,\cdots,l\) について関数形を求めていきましょう。
\(Y_l^l\) に下降演算子を順次作用させて \(Y_l^m\) を構成します。 \(Y_l^m\) に下降演算子がかかれば、 \begin{array}{rcl} \hat{l}_-Y_l^m &=& \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}Y_l^{m-1} \\ &=& \sqrt{(l-m+1)(l+m)}Y_l^{m-1} \end{array} ですから、 \begin{array}{rcl} (\hat{l}_-)^{l-m}Y_l^l &=& \sqrt{2l\cdot2(2l-1)\cdots(l-m)(l+m+1)}Y_l^m \\ &=& \sqrt{1\cdot2\cdots(l-m)\cdot2l(2l-1)\cdots(l+m+1)}Y_l^m \\ &=& \sqrt{(l-m)!\dfrac{(2l)!}{(l+m)!}}Y_l^m . \end{array} ゆえに\eqref{l-}を考慮して、 \begin{array}{rcl} \tag{10.9} \label{10.9} Y_l^m &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}}(\hat{l}_-)^{l-m}Y_l^m \\ &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} \left[ e^{-il\varphi} \left( -\dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) \right]^{l-m} Y_l^l \end{array} ですね。
ここで天下り的ですが、 \begin{array}{rcl} \hat{l}_-(e^{im\varphi}f(\theta)) &=& e^{-i\varphi} \left( -\dfrac{\partial}{\partial\theta} + i\cot\theta\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \right) (e^{im\varphi}f(\theta)) \\ &=& -e^{-i\varphi}e^{im\varphi}\dfrac{\partial}{\partial\theta}f(\theta) - -e^{-i\varphi}e^{im\varphi}m\cot\theta f(\theta) \\ &=& -e^{i(m-1)\varphi}\dfrac{1}{\sin^m\theta}\sin^m\theta\dfrac{\partial}{\partial\theta}f(\theta) - -e^{i(m-1)\varphi}m\dfrac{1}{\sin^m\theta}\sin^{m-1}\theta\cos\theta f(\theta) \\ &=& -e^{i(m-1)\varphi} \dfrac{1}{\sin^m\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta}(\sin^m\theta f(\theta)) \end{array} を使います。
この計算は、ゆくゆくは \(Y_l^m\) が球面調和関数になり、その中に \(\sin^{-m}\theta=(1-\cos^2\theta)^{-m/2}\) が現れるのを期待してのものである。
\eqref{10.9}に\eqref{10.8}を代入して \begin{array}{rcl} Y_l^m &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} (\hat{l}_-)^{l-m} (N_l\sin^l\theta e^{il\varphi}) \\ &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_l(\hat{l}_-)^{l-m-1} \left( -e^{i(l-1)\varphi} \dfrac{1}{\sin^l\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \sin^l\theta\sin^l\theta \right) \\ &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_l(\hat{l}_-)^{l-m-2} \left( e^{i(l-2)\varphi} \dfrac{1}{\sin^{l-1}\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \sin^{2l}\theta \right) \\ &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_l(\hat{l}_-)^{l-m-2} \left( -e^{i(l-3)\varphi} \dfrac{1}{\sin^{l-2}\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \sin^{2l}\theta \right) \\ &=& \cdots \\ &=& \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_l(-1)^{l-m} e^{im\varphi} \dfrac{1}{\sin^{m+1}\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \right)^{l-m-1} \sin^{2l}\theta \\ &=& (-1)^{l-m} \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_l e^{im\varphi} \dfrac{1}{\sin^{m}\theta} \left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta} \right)^{l-m} \sin^{2l}\theta \end{array} と計算されます。 (5.9)と同様に \(x=\cos\theta,d/dx=-1/\sin\theta\partial/\partial\theta\) とすれば、 \begin{array}{rcl} Yl^m &=& (-1)^{l-m} \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_le^{im\varphi} \dfrac{1}{(1-x^2)^{m_2}} \left(-\dfrac{d}{dx}\right)^{l-m} (1-x^2)^l \\ &=& (-1)^l \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_le^{im\varphi} \dfrac{1}{(1-x^2)^{m_2}} \left(\dfrac{d}{dx}\right)^{l-m} (x^2-1)^l \end{array} となって、\(\theta\) に関わる部分はルジャンドル陪多項式(7.9)の \(m\mapsto-m\) に近い形が得られます。 実際に、 \[ P_l^{-m}(x) = \dfrac{1}{2^ll!(1-x^2)^{m/2}} \left(\dfrac{d}{dx}\right)^{l-m} (x^2-1)^l \] です。 角運動量の量子数の要件として \(l\) が整数または半整数に限られること、\(m=-l,-l+1,\cdots,l\) となること、さらに\eqref{l in Z}を考慮すると、\(P_l^m\) の記法は問題なく、\(Yl^m\) をルジャンドル陪多項式で表せば \[ \tag{10.10} Y_l^m = (-1)^l \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_le^{im\varphi} \cdot 2^ll!P_l^{-m}(\cos\theta) \] となります。
一般に角運動量の次数 \(l,m\) は半整数でも構わないが、ルジャンドル陪多項式の次数は \(l\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) に限られる。
これに(7.10)を用いると、 \begin{array}{rcl} \tag{10.11} \label{10.11} Y_l^m(\theta,\varphi) &=& (-1)^l 2^ll! \sqrt{\dfrac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}} N_le^{im\varphi} (-1)^m \dfrac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^{m}(\cos\theta) \\&=& (-1)^{l+m} 2^ll! \sqrt{\dfrac{(l-m)!}{(2l)!(l+m)!}} N_le^{im\varphi} P_l^{m}(\cos\theta) \end{array} です。
ここまでの計算では規格化定数 \(N_l\) を残したまま計算してきましたが、\eqref{10.11}を見る限り、負号を付した球面調和関数(9.4)に形が似ていますね。 そこで本節では球面調和関数の規格化条件(9.1)を \(Y_l\) に要求することで \(N_l\) を決定し、固有状態の波動関数を決定していきます。 まずは \(Y_l\) を規格化しましょう。 \eqref{10.8}を規格化条件に適用すると、 \begin{array}{rcl} \delta_{l,l'} &=& \displaystyle \int d\Omega (Y_{l'}^{m'})^\ast Y_l^m \\ &=& \displaystyle\int_{r=1} \sin\theta d\theta d\varphi N_l^\ast\sin^{l'}\theta e^{-il'\varphi} N_l\sin^l\theta e^{il\varphi} \\ &=& \displaystyle N_{l'}^\ast N_l \int_0^\pi\sin\theta d\theta\sin^{l'}\theta\sin^l\theta \int_0^{2\pi}e^{i(l-l')\varphi}d\varphi \\ &=& \displaystyle 2\pi\delta_{l,l'}N_l^\ast N_l \int_0^\pi\sin^{2l+1}\theta d\theta \\ &=& \displaystyle 2\pi|N_l|^2\delta_{l,l'}\cdot2 \int_0^{\pi/2}\sin^{2l+1}\theta d\theta \\ &=& 2\pi|N_l|^2\delta_{l,l'} B\left(l+1,\dfrac{1}{2}\right) \qquad\because\text{A.2性質2} \\ &=& 2\pi|N_l|^2\delta_{l,l'} \dfrac{\Gamma(l+1)\Gamma(1/2)}{\Gamma(l+3/2)} \qquad\because\text{A.2性質3} \\ &=& 2\pi|N_l|^2\delta_{l,l'} \dfrac{l!\sqrt{\pi}}{(l+1/2)(l-1/2)\cdots1/2\sqrt{\pi}} \qquad\because\text{A.1性質1, 2, 3} \\ &=& 2\pi|N_l|^2\delta_{l,l'} \dfrac{2^{l+1}l!}{(2l+1)(2l-1)\cdots3\cdot1} \\ &=& 2\pi|N_l|^2\delta_{l,l'} \dfrac{2^{l+1}2^ll!}{(2l+1)\cdot2l\cdot(2l-1)\cdots3\cdot2\cdot1} \\ &=& 4\pi|N_l|^2\delta_{l,l'} \dfrac{(2^ll!)^2}{(2l+1)!} \end{array} となります。 従って位相の不定性はあれど、 \[ |N_l| = \dfrac{1}{2^ll!} \sqrt{\dfrac{(2l+1)!}{4\pi}} \] とわかります。
これに基づき\eqref{10.8}は位相を除いて \[ |Y_l^l(\theta,\varphi)| = \dfrac{1}{2^ll!} \sqrt{\dfrac{(2l+1)!}{4\pi}} \sin^l\theta e^{il\varphi} \] となります。 \eqref{10.11}は \[ |Y_l^m(\theta,\varphi)| = \left| (-1)^{l+m} \sqrt{\dfrac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{il\varphi} \right| \] になりますね。 右辺 \((-1)^l\) の部分は \(m\) に依存しない位相ですから、\(1\) としておくのが望ましいでしょう。 ということで位相を \[ N_l = (-1)^l\dfrac{1}{2^ll!} \sqrt{\dfrac{(2l+1)!}{4\pi}} \] としておけば、 \[ Y_l^m(\theta,\varphi) = (-1)^m \sqrt{\dfrac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{il\varphi} \] となります。 9.1.2でみた2種類の位相のうち、(9.4)に一致していることに注意してください。